STRUKTUR ALJABAR DARI RUANG HASILKALI TENSOR DAN RUANG MATRIKS DARI RUANG OPERATOR TERBATAS PADA RUANG HILBERT

STRUKTUR ALJABAR
DARI RUANG HASILKALI TENSOR
DAN RUANG MATRIKS DARI RUANG OPERATOR TERBATAS
PADA RUANG HILBERT

Khaerudin Saleh (033019)
Program Studi Matematika
FPMIPA
UPI Bandung

Abstrak. Misalkan H ruang Hilbert, suatu ruang Hilbert n-tuple (Hⁿ) adalah ruang Hilbert juga. Dengan mengidentifikasi setiap matriks di Mn(B(H)) sebagai operator terbatas di Hⁿ dapat ditunjukkan bahwa Mn(B(H)) adalah suatu subaljabar* dari B(Hⁿ). Selanjutnya bisa ditunjukkan terdapat suatu isomorfisma kanonik* dari Mn(B(H)) pada B(Hn) yang menyebabkan struktur dari subaljabar* Mn(B(H)) serupa dengan struktur dari aljabar operator B(Hⁿ) . Melalui isomorfisma kanonik* kita definisikan norm di Mn(B(H)) sedemikian sehinga sama dengan norm di B(Hⁿ) . Dengan struktur aljabar dan norm yang sama maka Mn(B(H)) dapat dipandang sebagai aljabar C* sebagaimana halnya B(Hⁿ) . Permasalahan ini akan semakin menarik apabila Mn(B(H)) dipandang sebagai ruang hasilkali tensor ruang matriks persegi dari ruang kompleks dengan aljabar operator B(H) (dinotasikan ruang Mm,n ⊗ B(H)), kemudian ruang Hilbert n-tuple (Hⁿ) dipandang sebagai hasilkali tensor dari ruang kompleks n-tuple dengan ruang Hilbert H (dinotasikan Cⁿ ⊗ H).

Kata kunci: Aljabar-C*, Aljabar Operator, Ruang Hilbert n-tuple, Operator Terbatas, Isomorfisma Kanonik*, Subaljabar*, Ruang Hasilkali Tensor.

1. Pendahuluan
Berbagai pendekatan dapat digunakan untuk mempelajari aljabar operator, di antaranya melalui pendekatan sifat-sifat aljabar dan analitik dari matriks-matriks atas ruang linier. Suatu matriks n×n atas ruang linier R dapat dipandang sebagai suatu transformasi linear dari suatu ruang linear n-tuple ke dalam ruang linear n-tuple yang sama, dengan demikian matriks n× n merupakan operator linear pada ruang vektor n-tuple. Selanjutnya suatu matriks n×n atas ruang operator terbatas B(H) dapat dipandang sebagai operator pada ruang Hilbert n-tuple.

Permasalahan yang menarik untuk dibahas apabila matriks tersebut dipandang sebagai kombinasi linier dari elemen tensor i i b =Σα ⊗b , dengan i b ∈ B(H), dan i α matriks skalar n × n elemen dari Mn (ruang matriks atas ruang kompleks). Sehingga apabila ruang matriks diperlakukan sebagai ruang operator pada ruang Hilbert, maka hal yang mungkin terjadi hasilkali tensornya juga dapat diperlakukan sama, demikian pula halnya jika ruang matriks merupakan suatu aljabar-C *.

DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H. (1987). Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima. (Terjemahan oleh Pantur Silaban). Jakarta: Erlangga.
[2] Bartle, Robert G., & Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons.
[3] Churchill, Ruel V., & Brown, James W. (1990). Complex Variable and Aplication, Fifth Edition. New York: McGraw-Hill.
[4] Conway, J. B. (1990). ). Graduate Texts in Mathematics, A Course in Functional analysis. New York: Springer-Verlag.
[5] Durbin, J. R. (1992). Modern Algebra an Introduction. New York: John Wiley and Sons.
[6] Effros, E. G., & Ruan, Z. J. (2000). Operator Space. London: Oxford University Press.
[7] Hungerford, Thomas W. (1974). Graduate Texts in Mathematics, Algebra. New York: Springer-Verlag.
[8] Lipschutz, Seymour. (1989). 3000 Solved Problems in Linear Algebra. New York: McGraw-Hill.
[9] Murphy, G. J. (1990). C*-Algebra and Operator Theory. Sand Diego: Academic Press.
[10] Roman, S. (1992). Graduate Texts in Mathematics, Advanced Linear Algebra. New York: Springer-Verlag.
[11] Rosjanuardi, R. (2000). “Produk Tensor”. Bahan Presentasi pada Program Doktor FMIPA ITB, Bandung.
[12] Rosjanuardi, R., Sumiaty, E., & Muhtar, S. (2006). Aljabar Operator dan Mekanika Kuantum. Bandung: Univesitas Pendidikan Indonesia.
[13] Sumartono, Harry. (2005). Aljabar-C* Grup dari Grup Diskrit Abelian. Skripsi pada Program Studi Matematika FPMIPA UPI, Bandung: tidak diterbitkan.
[14] Smith, Larry. (1998). Linear Algebra, Third Edition. New York: Springer-Verlag.
[15] Wahyudin. (2000). Pengantar Aljabar Abstrak. Bandung: Delta Bawean.
[16] Wikipedia. (2007). Tensor Product. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product [17 April 2007] [17] Wikipedia. (2007). Dual Space. [Online]. Tersedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space [8 Mei 2007]